德國一流大學教你數學家的22個思考工具

數學是最迷人的思考活動， 將手邊有限的訊息加以消化、理解、進一步掌握，找出問題並尋求解答。 　　本書將介紹22個容易理解、但極為有效的思考工具， 　　讀者們只需具備基礎數學知識跟一顆嘗試冒險的心， 　　即可徹底學會數學抽象化思考的技巧， 　　運用邏輯能力將問題化為捷徑。 　　本書是寫給不排斥數學，但總是不得其門而入的讀者。 　　你將學到數學家如何思考問題以及求解， 　　深入體會數學最迷人的真正精髓。 　　這本書原本是德國斯圖加特大學2006年的夏季學期中， 　　針對非數學系學生所開設的課程教材改寫而成。（課程名稱為：與數學的相遇） 　　為什麼很多人始終無緣一窺數學堂奧？ 　　為什麼你看得懂別人的算式，卻沒有辦法解一個別人沒解過的問題？ 　　作者在本書向大眾介紹22個以數學原則做基礎的思考工具， 　　不只可以簡化大多數人面對難題而本能產生的複雜想法， 　　更要活絡你的思路，學習用數學的抽象思考方式解決各種難題。 　　有效的思考工具，就是幫助你運用想像力跟邏輯思維，把問題化繁為簡，再以此進一步求解，例如： 　　Q：一整片格子狀巧克力，若要全部折斷成單格的小片，最少需要折幾次才能辦到？ 　　→用「類比原理」思考：試著折斷一片巧克力，折斷後的塊數，永遠比折斷次數多1…… 　　Q：數學天才高斯七歲的時候，老師要全班同學計算「從1加到100的總和」。高斯只花了幾秒就把答案寫好。他是怎麼算出來？ 　　→用「富比尼原理」思考：把數字分組，讓每一組數字的和永遠相同，再計算共有多少組…… 　　Q：有2n位大使受邀參加一個慶祝會。每位大使在這群人中最多有n - 1個敵人。要怎樣安排圓桌座位，才能讓每位大使都不會坐在自己的敵人旁邊？ 　　→用「單向變化原則」思考：A大使的朋友旁邊，絕不可能都坐著B大使的敵人…… 　　22個數學思考工具： 　　1. 類比原則 　　我們能將這個問題回推到另一個已知答案的類似問題嗎？ 　　2. 富比尼原理 　　我們可否算出某些東西的數目，但卻是用完全不同的方法去算出來？ 　　3. 奇偶原理 　　我們可以從問題是否可能具體區分成兩個互不重疊的類別，來得知問題有沒有解嗎？ 　　4. 狄利克雷原理 　　如果 n+1 個物件要任意存放在 n 個格子內，至少會有 1 個格子放了2 個物件。 　　5. 排容原理 　　我們能不能從比較容易計數的子集合，來算出某個集合中的元素個數？ 　　6. 相反原則 　　我們可不可以先假設某個斷言的反面是對的，然後透過無懈可擊的邏輯推導，得出與所假設事實矛盾的結論，以此來證明原本的斷言是對的？ 　　7. 歸納原則 　　為了證明一堆有序物件當中的全部東西皆具有某種性質，可以先證明第一個東西有此項性質，然後再證明，若其中任意一個東西具有該性質，則下一個東西也有此性質。 　　8. 一般化原則 　　解決一般問題時，可不可以先刪去一些條件或是改變一些約束條件，然後再把求得的解運用在眼前的特殊情形？ 　　9. 特殊化原則 　　解題時可以先看特殊情況，然後從特殊情況的結果推廣到一般情況的求解嗎？ 　　10. 變化原則 　　我們是不是可以透過控制改變問題的某些層面，從新的角度來觀察，對原本的問題有更深入的理解，進而解開問題？ 　　11. 不變性原理 　　系統裡有沒有一些性質，是在系統本身允許改變時也保持不變的，而從這些性質可以推導出系統可能的發展結果嗎？ 　　12. 單向變化原則 　　在系統經歷了可允許的改變下，系統中有沒有一些性質只會以一種特定方式改變，且從這些變化可以推斷出系統可能的發展？ 　　13. 無窮遞減法則 　　我們可不可以先替某件事給個例子，然後假設從這個例子一定可以推到越來越小例子，但實際上不可能永無止境地越推越小，因而證明這件事不可能發生？ 　　14. 對稱原理 　　在給定系統裡有沒有某些對稱性質，可以讓我們從中取得資訊？ 　　15. 極值原理 　　我們能不能從給定問題的極端情形，研究出所有情形的相關資訊？ 　　16. 遞迴原理 　　解題時可以將問題一步一步推到更簡單的版本嗎？ 　　17. 步步逼近原則 　　解題時，可以先找出一個近似解，然後在後續步驟中持續改進嗎？ 　　18. 著色原理 　　我們可以透過使用顏色，在問題的結構中建構出模式，然後從中汲取解題的資訊嗎？ 　　19. 隨機化原則 　　我們可以在問題裡引進一個隨機的機制，使問題簡化嗎？ 　　20. 轉換觀點原則 　　解題時可以從目標往起點反向進行，然後再翻轉思考方向嗎？ 　　21. 模組化原則 　　解題時可以將問題分解成許多子問題，解決之後再將這些部分解合併成完整的解？ 　　22. 蠻力原則 　　我可以透過試遍所有可能的解法來解題嗎？

序 Part 1 寫在前面 Part 2 思考工具 1. 類比原則 2. 富比尼原理 3. 奇偶原理 4. 狄利克雷原理 5. 排容原理 6. 相反原則 7. 歸納原則 8. 一般化原則 9. 特殊化原則 10. 變化原則 11. 不變性原理 12. 單向變化原則 13. 無窮遞減法則 14. 對稱原理 15. 極值原理 16. 遞迴原理 17. 步步逼近原則 18. 著色原理 19. 隨機化原則 20. 轉換觀點原則 21. 模組化原則 22. 蠻力原則 終曲

序 　　思考是一種精神活動。在思考過程中，我們獲取訊息並加以消化、理解且進一步掌握、找出問題並尋求解答。特別是要從既有的訊息中，找出有助於解題的有用見解。 　　從問題中尋找解答的過程，極為特別又具創造性。想得出最後的答案，必須透過步循序漸進的理解。思索必須如同知識載體，先有概念，接著產生作用，再進一步達到成功的結果。思考運作不能強求而得，但總可藉由捷思法，也就是一般人所稱的創意的方式，產生更多的概念，不論結果為何，至少提供了成功的機會。一般公認捷思法為相當有效的思考工具。換句話說，當我們遭遇不知如何解決的問題時，捷思法是最好的導引工具。 　　每一個人都能思考。就像跑步、游泳與跳高，有些人擅長、有些人表現平平、有些則很差。但是思考就像前述的技能，可藉由練習讓技巧純熟，並運用輔助加強。如同游泳選手穿上蛙鞋後能夠加速，思考者也可使用思考工具，充分提升解題能力。 　　這就是本書的目標。這本書將介紹22 個容易理解、但極為有效的思考工具。讀者們只需具備基礎數學知識，即可輕鬆讀懂。這些經過證明的思考技巧形式，可讓你思路更加活絡，幫助你解決定量問題。 　　思考能造就快樂的感受，每一個靈光乍現都像一次完美的攻頂，每一個成功的理解都是從大腦皮質綻放出的煙火。數學是展現思考最純粹形式的科學。數學是一種「思想體系」，是從概念中衍生而出的理論。日常生活中到處都找得到數學的蹤跡，數學不僅無所不在、隨處可用，更是引人入勝，甚至極富美感。近代所有的科技成就都用到了數學，它幫助我們更理解這個宇宙，也是我們能繼續存活在宇宙中的不可或缺的要素。此外，數學還擁有許多令人屏息的美麗元素。 　　本書顯而易見的目的，是提供讀者至少雙重的激勵：參與一個使你更加聰明的冒險旅程，以及享受解題過程所產生的美感。這本書憑藉著引人入勝且分段體驗的方式，為讀者提供了數學上的閱讀、思考以及進一步的深思熟慮。這本書可視為是數學與生活最令人驚喜的融合。何不試著挑戰一下我們的數學能力，並補強一下不足的部分。 　　不可避免的，這本書放入了作者本人的主觀因素。雖說數學是實事求是的，但它不僅是心智活動，同時也是熱情所在；不僅是已知事實的總和，也是卓越思考的殿堂。我們可以將數學理解為一種敘述性的科學。人們可以輕易的察覺且確認，數學是門特別且內容豐富的學問。尤其是在引人注意的問題陳述、巧妙的策 　　略運用、迷人的數學證明和極為有效的結果論證上更能體認到。這本書也納入了很多格言、思考的啟發、軼事、歷史背景，就像同類型的數學書，我們以輕鬆有趣的原則使內容更加豐富多彩，生動活潑。所以這本書是風格輕鬆的，盡可能寫得有趣又愉悅。 　　＊ ＊ ＊ 　　這本書分成兩個迥然不同的部分。第一部分是導言，廣泛介紹什麼是問題、思考以及數學思維。數學家遇到問題時，他們不會馬上陷入恐慌，而是大膽果決的著手處理它。對數學家來說，問題的存在是智識生活的一部分。面對問題時，他們也不會很快就感到挫折，而會不斷地重新站起來，帶著更多的傷口繼續處理面對。這是因為，他們已經受過非常密集的基礎訓練，加強了挫折承受力以及解題能力。 　　在第二部分將提出22 個思考小工具，其中包括了類比原則、歸謬法、窮舉法等等。在內容上與問題的難度上，我們做了粗略的區分，針對解題思考法分為基礎、進階、高階三種類型。 　　此外，除了有豐富生動的數學思維小故事外，書裡還舉出了許多例子，讓讀者們進一步瞭解思考小工具的實際運用。 　　寫這本書花了很長的一段時間，甚至可以說是匯集了超過四分之一世紀的數學研究成果。首次的濃縮內容是在斯圖加特大學2006 年的夏季學期中，針對非數學系學生所開設的課程（課程名稱為：與數學的相遇）的教材。 　　在此，我要感謝為這本書的出版做出貢獻、協助我讓這本書更容易理解的所有人。所有的感謝已溢於言表，以下我將提及他們的名字。伊娜．羅森伯格（Ina Rosenberg）和菲利普．施密特（Philipp Schnizler）參與了手稿的編排與資料的處理。弗拉德．薩書（Vlad Sasu）完成了絕大多數的插圖。感謝鮑爾曼博士（Dr. Bollmann）對我的手稿非常詳細的校正，貝克出版社（C. H. Beck Verlag）對這本書的採納以及出版過程中愉快的合作經驗。 　　一如慣例，在此我也要誠摯的感謝我的家人：安德烈．羅內爾（Andrea Römmele）、漢娜．赫塞（Hanna Hesse）和雷那德．赫塞（Lennard Hesse）。如果不是因為他們，就不會有這本書的完成，在此將這本書獻給我的家人。 克里斯提安．赫塞（Christian Hesse） 於德國曼海姆