學校這樣教數學就好了!(上)-最有趣的故事，啟發你用數字思考的能

商業周刊報導：數學力是隱藏的核心競爭力 北一女中數學教師：數學決定成敗 　　日本暢銷40年的數學經典讀物， 　　解決你的數學基礎疑問，啟發幾百萬人的聰明才智。 　　學校教的數學是怎麼出現的？其實，每個數學公式、定理，背後都是一個人茅塞頓開、變聰明的過程，而數學更是因應當時人們的需要而產生，但是學校沒教這些有趣的東西，所以大多數人覺得數學很難懂。 　　只有小學學歷的日本數學大師（他的所有著作都編入日本中學及大學課本），告訴你： 　　．把數學和思考融為一體，就會變聰明，不信你看印度人。 　　．投資房地產一定要懂幾何，分財產一定要懂分數，做生意一定要熟用乘法。 　　．為什麼誰的數學厲害、誰的國力就比人強？ 　　．分數、對數、代數、π……哪些數學你一輩子都用的到，一定要會。 　　．零、十進位、十二進位、六十進位的發明，為什麼是不同生活方式造成的？ 　　．不靠西方人教，中國人和日本人的數學有多行？ 　　學校沒教你的：產生數學的有趣故事、各國的數學發明、自古流傳的數學益智遊戲……這本書全部教給你。本書涵蓋你一生必備的數學知識，熟用這些數學觀念，將來一定過好日子！ 　　◎試試這題測驗，就能了解懂數學絕對不吃虧： 　　一個農夫養有17頭羊，他過世前交代遺言給三個兒子， 　　大兒子分1/2，二兒子分1/3，小兒子分1/9，說完後就斷氣了。 　　你知道該怎麼分配嗎？ 　　小提示：不吃虧的祕訣在於，你得想辦法先借到一頭羊（詳細說明請見本書第68頁）。 　　《學校這樣教數學就好了！（上）》，讓你明白，數學真有趣； 　　《學校這樣教數學就好了！（下）》，讓你知道，數學很有用！

推薦序1 文章標＝零壓力的學習數學法 　　本套書作者只有（日本）高等小學學歷，但是對照本套書以及他的其他有關「問題解析」的數學辭典，都會讓我們數學家覺得非常不可思議！ 　　作者因幼年家貧，無法接受數學正規訓練，使得只需要3~5年就可輕鬆取得中學數學教師資格，卻苦讀了14~15年的光陰。儘管如此，作者43歲的心情感言還是相當令人動容：「和松樹比高矮的藤蔓啊！你看，深山裡的美麗長春藤，映照著夕陽獨自微笑。」從知識多樣性（diversity）的觀點來說，松樹與藤蔓的確各有其存在的價值與意義。而數學知識活動的多元面向，或許難以觸動長期浸淫「考試文化」的人，不過，前半輩子一直都在「考、考、考、考、考」的作者，卻能突破制式（conventional）學習的窠臼，交出如此別出心裁的「成績單」，實在是一項難得的學習成就。 　　在本套書中，作者以「茶水間」的休閒心情，說明數學的有趣與有用，的確讓我們深深覺得「學校這樣教數學就好了」！ 　　本套書內容主要包括數學史（其中，和算〔wasan〕深具特色）、益智趣味數學（含歷史上的數學名題及其求解與延伸），以及「數學人的（勵志）隨想」。一般人總是苦於數學學習的單調、乏味和挫折，而無法窺探數學意義。或許他們在閱讀本套書之後，會多麼希望制式教育場域中的教師，曾經「設法找出適當的機會，以活潑有趣的角度來介紹數學史」。 　　這種啟發性的教學方式，直接或間接的開啟學生對數學產生興趣的契機。事實上，作者利用歷史上的數學名題，引進適當的解題活動及其反思或評論，就具體實現了數學史的教育價值：「在數學史的脈絡中引進數學，是數學學習的最佳進路之一」。而就目前國際數學教育界大力推動的HPM（主張數學史融入數學教學）學門來說，本套書作者的「困而學之」心得，更是老早發為先聲了。 　　透過了解數學史來教授或學習數學，其實就善用了閱讀活動的一項絕佳策略，也就是經由數學故事的敘說與閱讀，我們不僅分享數學家的獨特生命經驗，也在認知上，與人類的過去有了重要的連結，得以體會數學知識的本質、成長或增進的特殊意義。 　　基於這些體認，筆者鄭重推薦本套書給中小學師生以及愛好閱讀的一般人士。無論你的過往數學經驗如何，只要閱讀本套書，你就能獲得第二次、而且是零壓力的數學「學習機會」！ 　　最後，筆者在審定本套書的中譯本新版時，曾就作者的部分敘事內容，提供了一些修訂建議。不過，這些都無損作者的原先思維創意。特此聲明。 洪萬生 前台灣師範大學數學系教授 推薦序2 數學，決定成敗 　　擔任北一女數學教師多年，看見一些水準之上高中女生的學測成績，不得不留意到一個現象：當學生的國、英、自、社四科級分約為12到15時，數學一科的分布卻在8到15級分。也就是說，如果一個學生拿到學測成績單，她所突出於同儕的分數極有可能來自數學，而讓她成績不盡如意的也泰半源於此。 　　數學因其系統嚴謹而獨樹一幟，但也因此不是人人都敢親近的。如何突破心防，讓大眾有機會親近數學之美呢？日本數學大師□部貞市郎在這本書中提及日本學者的作法，值得我們數學教育者借鏡。作者寫道：「在日本的數學書裡，經常以故事或謎題的形式，將數學問題巧妙地化為有趣的文章，讓一般民眾在不知不覺間得以吸收數學知識。」並在下冊中的第二章提供範例。 　　看完這套書，我們不只可以接觸到數學的演進、數學家傳記及各個數學故事，同時了解到作者有多麼努力撰寫出這套「心靈補給品」。現代人在學數學時，是需要一探上古文明的，才能明白數學家們是怎樣煞費苦心，為整個數學體制的大工程進行改善。也正因為可以想像原始部落的日常生活場景，才能知道數字的表示有何重要性。很多時候，數學的開始可能只是另一件事的輔助，譬如在豢養多隻羊時要掌控總數，河道氾濫後的土地重劃就涉及幾何度量，或者是天文觀測之角度及比例為宇宙的臆測提供依據。但剛開始看似配角的數學，卻能因為符號的創立、找出普遍的原理，而脫離原本研究項目，對人類有更大的貢獻，這點實在值得我們禮讚。 　　看著這些，禁不住會想什麼才是「數學教育應有的面貌」呢？個人認為，得兼具精神與實用兩個層面吧！若教師能厚植學生的數學造詣，可以讓一個人享受源自大自然的真誠快樂，完全不輸美術、音樂撫慰人心的舒服感受；而具備面對生活需求的數學解題能力，一旦加上個人見解，就能獲致無與倫比的成就。 　　當然心理的調適影響也很深遠，這也就是作者在上下冊書中最後誠摯列舉各行各業成功者以為學習者借鏡的用意。期盼藉由書中點滴，讓人體悟到不論先天資質高或低，唯有善用時間、專注投入，並正視自己不擅長的事，才能幫助一個人找到安身立命之道。 　　不論你在學習階段表現的只是一個平凡的接收者，或是閃著聰慧靈光的探索者，也或許你體內藏著與眾不同的熱忱與好奇心，還是你的孜孜不倦為自己帶來不容忽視的踏實根基；不管學習之路走得如何，人生目標如何設定，希冀每一個人都像同沾雨露一般，因閱讀這本書而接近數學，並能體會為什麼愛因斯坦曾欣喜若狂地說：「數學根本就是一種魔術。」 許秀聰 北一女中數學教師 推薦序3 小學畢業的日本數學大師 　　本書作者□部貞市郎1887年出生於岡山縣手莊村（現在的高梁市），有許多卓異非凡的著作，例如《問題解析法．幾何學辭典》、《問題解析法．代數學辭典》、《問題解析法．微積分學辭典》、《數學公式辭典》、《問題解析法．三角法辭典》等，是一位擁有卓越成就的數學家。 　　貞市郎受過的正規教育，只有8年的「尋常高等小學」（譯按：日本在2次大戰前將初等小學教育及高等小學教育合併的普通高等小學）。身為農家的長子，因為家庭經濟因素，他不得已只好放棄升學。若是當時他能夠繼續升學、進入大學，想必能取得數學博士學位，擔任大學教授一展所長。 　　但假設貞市郎真的繼續升學並擔任大學教授，則必定無法完成這些「問題解析法辭典」的著作。「問題解析法數學辭典」是將各種數學問題加以分類，匯集各方理論編著而成，大學教授是不可能如此專注，完成這樣的著作。所謂的「數學辭典」，在現代數學中以分門別類的方式來解說各種數學的概念，通常是由各個專門領域的數學專家執筆所完成。在辭典內容的統一性及作者的見解上，貞市郎獨自完成的「問題解析法辭典」，與一般的數學辭典有著不同的意義。 　　不只是大學教授，就連一般專注於這類書籍的編撰者，也幾乎不可能完成這樣的數學名著。要編撰「問題解析法數學辭典」，首先必須從許多資料中將問題分門別類，接著還必須一一解析這些問題。在鑽研數學問題期間，還必須考慮到在耗費時日及精力完成著作時，是否能得到與所付出努力相等的報酬。□部貞市郎不追求經濟上的利益，圓滿完成這樣的著作，我認為這並不是一般人可以做得到的事。 　　□部貞市郎除了編撰這些數學辭典外，2次大戰前，還在東京創立了「武藏學院」補習班；2次大戰後在故鄉岡山縣創立了「手莊學院」，又在東京設立了「聖文社」出版社。東京的武藏學院在日本戰敗後也隨之解散，而手莊學院因受到岡山縣的支援持續經營，成為現在的岡山縣立川上農業高等學校。 　　這套作品在1960~1964年出版時，有正版、續版及新版共3本，分別在介紹數學史、數學家列傳、數學典故、數學益智問題、隨想錄等。內容立義有別於當代坊間書籍，是鮮為人知的一代名著。這一次我受到日本出版社的委託，重新彙整、編輯這套書。能夠參與這部數學名著的編輯工作，深感無限榮幸。 開啟我研究數學的最重要著作 　　我是在國中一年級時，在學校圖書館發現這本書。因為這本書，引發我對數學的濃厚興趣，不眠不休地一口氣唸完「數學史」，專注的神情至今還記憶猶新。多年後重新編輯這本書並再次發行，我認為在數學對現代人的影響等方面具有深遠的意義。 　　數學及聖經學是舉世公認系統最完整的學問。而數學更是無論在哪一個時代，都跟人類生活有著密切的關係。在《學校這樣教數學就好了！》套書中所介紹的偉大數學家們，每一位都是竭盡畢生的精力專注於數學研究。數學與數學家之間的關係，可以說是「數學」引導著數學家的研究方向，也由於數學家的深入鑽研而建立起更完整的數學體系。 　　在日本提到關於數學史的書，以日本數學家高木貞治所著的《談近代數學史》最著名。高木貞治是日本最具代表性的數學家之一，其著作幾乎成為日本數學家必讀的書籍。但是這本書的內容具有相當的專業程度，對於一般讀者來說過於深奧難懂，可以說當初書籍設定的閱讀對象，就是對數學有一定程度認識的讀者。與高木貞治的著作相較之下，□部貞市郎所著的《學校這樣教數學就好了！》的內容顯得簡單易懂。 　　□部貞市郎謙稱自己只是一名國中教師，但在國中的班級中，學生們對於數學的理解能力不一，教師必須以活潑有趣的解說方式，為不擅長數學的學生說明數學史的軼事典故。也就是說□部貞市郎的表達能力足以誘發讀者興趣，讓讀者一旦翻開扉頁閱讀便欲罷不能。 　　德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）能在極短的時間內算出從1到40的總和，希臘數學家歐幾里得（Euclid）曾說過：「在學習幾何學的過程，不可能一帆風順。」而法國數學家費馬（Pierre de Fermat）留下「發現了最後定理，但因為在末頁已無空白之處，所以無法寫下驗證定理的方式」這句令人費解的名言，瑞士盲人數學家歐拉（Leonhard Euler）發現一筆劃原理……這些數學家們的軼聞，若能在茶餘飯後當成歷史故事閱讀，想必能讓讀者對數學產生興趣。 　　在數學益智問題部分，大部分的問題是屬於以前的數學遊戲，絕大多數都能以聯立一次方程式或二次方程式輕鬆解答。作者好像特別鍾愛「分配剩餘、不足的算術問題」。這類的問題早在日本江戶時代或西洋早期就已流傳於庶民之間，先人的智慧隨著時代的演進流傳至今，更能體會到另一種數學的奧妙。此外，收錄的問題之一還曾經被用來當作某大學研究所入學考試的題目（見第XXX頁Q28「這才是推理：帽子的顏色」）。 　　在最後的「隨想錄」部分，收錄了作者自1954年以來，刊載於《應試數學》月刊雜誌的前言文章。這些文章反映了當時的社會現象，現代讀者或許會感到文章內容與現代社會現況有些許落差，但是對於那些對早期社會現象感到興趣的讀者而言，這些都是值得再三吟味的文章。但是作者並不是評論家，也不是文字記者，他只是站在他的數學專長領域，表達自己對當時社會的看法。 　　身處於現代的我們，以及將來我們的子孫，應該向□部貞市郎學習他勤勉不倦的精神。出身於明治時期的他珍惜每一分每一秒，專注於他所執著的領域。每天朝陽升起之時，總是感慨地說：「這一天的朝陽僅在這一天早晨升起，過了這個時候絕不可能再次出現。像這般凝視著朝陽，感慨時光飛逝不再的人，究竟有多少呢？」 　　2004年11月，我參加了日本東海大學理學部成立40週年的紀念酒會，在酒會上很榮幸的與當時出版社社長──□部邦雄會面。當時我與□部社長談到我在國中一年級時，因為拜讀了□部貞市郎所著的《學校這樣教數學就好了！》之後，從此步上了研究數學的生涯。也因為這個機緣，促成了這次增訂版的發行。在此為能夠有幸參與這著作的編輯工作，表達感謝之意。也深信這次的出版，會讓更多的讀者拓展屬於自己的數學世界。 渡邊純三 日本東海大學教授．理學博士

【推薦序】零壓力的學習數學法∕洪萬生 【推薦序】數學，決定成敗∕許秀聰 【推薦序】小學畢業的日本數學大師∕渡邊純三 【前言】有趣、有用的數學 第1章　數學——因需要而發現 01 從1開始的數學故事 超過3就算無數∕沒數學，日子怎麼過？∕5進位、10進位的起源∕較大數字的唸法∕數字的分位∕西方國家的分位法∕3分位法、4分位法的優缺點∕手指與5進位∕關於10進位及12進位 02 數字與人類進化 古代的記數法──1.4＝64∕10進位的記數法∕嘆為觀止的印度人∕羅馬人不愛數學的結果 03數字的變遷──埃及 羅塞塔碑石：4年才看懂90個字∕埃及的數字長什麼樣？∕萊因德紙草書∕嚇死人的埃及古代數學 04 數字的變遷──巴比倫 楔形文字──解不開的謎題∕巴比倫數字∕羅馬字母如何代表數字？ 05 幾何學及希臘幾何學家 尼羅河氾濫催生了幾何學∕希臘向埃及取經∕歐幾里得幾何學∕幾何學的三大難題∕圓面積是這樣想出來的∕金字塔為何偉大 06 圓周率π的歷史 日本數學家對π的推算∕π的歷史 07 丟番圖的代數 丟番圖之謎∕無師自通的丟番圖∕簡化是為了作麻煩事 08 印度人對代數的貢獻 關於古印度數學∕印度的阿拉伯數字∕煽情的印度數學∕婆羅門之塔∕印度人與代數∕印度數學的長處和罩門 09 阿拉伯數字與代數的由來 讓印度數學變實用∕為了看星星∕代數：忽明忽滅的意思 10 為什麼我們需要計算對數？ 對數──史上三大發現之一∕觸類旁通的發明∕對數的普及與實用∕殊途同歸的布爾基對數 11 九九乘法的起源及數字遊戲 羅伯的數學遊戲∕斐波那契數列和兔子生小孩∕＋－X÷的誕生∕世界最早的大學入學考∕算計回教徒的遊戲 12 中世及近世數學 阿拉伯：數學強、國家就強∕黑暗時代：數學差、成就更差∕近世數學：幾何學大革命 第2章　中國、日本數學有多厲害？ 01 中國出口數學 算木──中式計算機∕九章算術──一輩子都用得到∕為了奴隸而發明數學∕算法統宗──第一本商用數學∕經濟好、就學數學 02日本和算與算盤 實用的初期和算∕中國的算木到了日本∕建設國家與發展數學∕算盤誰發明的？∕算盤的出生地∕算盤的8種名字 03中期的日本和算 《塵劫記》，發展遺題繼承∕中國的天元術∕點竄術──找出藏匿的數字∕圓理──日本本土智慧∕算額──告訴大家我很強 04算聖──關孝和 關孝和發現微積分？∕關孝和在日本數學的偉大貢獻∕什麼是圓理術？∕數學家是祕密組織 05走出另一條路的後期和算 龜井算，算什麼？∕獄卒龜井 06和算的文字比數字更深奧 和算中的畢氏定理 第3章　數學史：許多人變聰明的故事 01時間怎麼開始的？ 古老的大鐘∕時鐘誰發明的？∕平均太陽日∕正午，時鐘敲九下∕十二地支與時刻 02指算乘法與除法的發明 手指的乘法∕俄式乘法∕會除法就號稱天下第一的毛利重能 03數學即席問答 骰子問答∕藥師算：頭腦體操∕變形藥師算 04澀川春海與二百十日 輸棋輸到改名，意外的數學大師∕日本人最早創造的曆法∕二百十日從釣魚而來 05百五減算及其應用 百五減算，腦筋打結∕代數解法，腦筋免打結∕百五減算，腦筋轉轉彎∕塔爾塔利亞問題，怎麼解？∕多多練習，腦筋不結巴∕這些問題，你怎麼答？ 第4章　數學靈光，行遍天下 01這些問題，你怎麼答？ Q1：你很懂加法嗎？∕Q2：這麼多鮪魚要幾天才吃完？∕Q3：9個圓、4條線，一口氣串起來∕Q4：火柴棒問題又來了∕Q5：烏鴉與松樹∕Q6：調換杯子∕Q7：降低成不降品質的Spa店∕Q8：最笨也最快的方法，別想太多∕ Q9：3里路、2匹馬，誰也不想吃虧∕Q10：3個人分3隻鳥，為什麼籠裡還剩1隻？∕Q11：為什麼不能只學建構式數學？Q12：土地分割，別吃虧∕Q13：請慢郎中趕工的說法∕Q14：水與冰的體積變化∕Q15：懶人撿球，該怎麼走？∕ Q16：排列與組合的入門題目∕Q17：快問快答，你有數字概念嗎？∕Q18：你會不會折鐵絲？∕Q19：不說考幾分，我也知道你名次∕Q20：抓偽幣的最快方法∕Q21：損益計算，你真懂生意嗎？∕Q22：算細胞分裂，誰最聰明？∕ Q23：練熟乘法，能提升洞察力∕Q24：不用停電，也知道電扶梯多少階∕Q25：老農夫分豬∕Q26：菊花台的必勝戰法∕Q27：算出三個角度和∕Q28：這才是推理：帽子的顏色∕Q29：收了假鈔的老闆，賠多少錢？∕Q30：到底怎麼偷喝葡萄酒的？ 02答案，你算出來了嗎？ A1：加號的位置很重要∕A2：別被鮪魚騙了∕A3：一口氣串起9個圓、4條線∕A4：怎麼搞定火柴棒∕A5：烏鴉搶松樹∕A6：花最少力氣換杯子∕A7：賺錢的Spa店∕A8：想太多，就錯了∕A9：怎麼分配，不吃虧？∕ A10：籠裡的鳥，是多出來的？∕A11：建構式數學沒說的事∕A12：絕對不吃虧的土地分割∕A13：這樣說，讓慢郎中都能趕工∕A14：冰化成水，體積減少了∕A15：最懶的撿球路程∕A16：怎麼排列與組合？∕A17：數字概念，一問就知∕ A18：鐵絲的折法∕A19：知道別人名次的方法∕A20：騙不了你的偽幣∕A21：賺錢生意要懂的損益計算∕A22：算細胞分裂，別被騙了∕A23：洞察力來自你的乘法功力∕A24：不停電，算出電扶梯有幾階∕A25：每人分到多少頭豬？∕ A26：你來我往必勝戰法∕A27：歸納出三個角度和∕A28：帽子的顏色，怎麼推理？∕A29：老闆到底賠多少？∕A30：被偷喝了多少葡萄酒？ 第5章　學好數學，你需要的心理素質？ 01阿貝爾，用腦袋改變全世界的思考方式 02施泰納：笨拙的人集中全力於一點，就能成大師！ 03好習慣換來好成績 04以退為進 05賣水賣糞成就大事業 06青春的歡愉，該從何而來 07鬥志，是一種長遠的態度 08閱讀讓你會思考 09別怪社會無良，它本來就如此 10我還擁有一隻腳 11希望，能讓每個人都成材 12你一個人嗎？ 13機會一直都在身邊 14從平凡而偉大的野口英世 15邱吉爾：今後就拭目以待吧！ 16順應潮流，走在前面一點點 17源頭決定結局 18你覺得自己聰明嗎？ 19你真的清楚畢業以後要幹嘛？ 20小學學歷數學大師的學習與思考

前言 有趣、有用的數學 　　在日本的江戶時代（1603~1868年），武士手拿算盤是無上的羞恥，反倒是對數學一無所知，更能突顯武士的地位崇高，值得向人誇耀。即使是現代，一提到數學還是讓許多人立即聯想到棘手的sin、cos、dy∕dx、∫ab等數學算式，在心底築起一道牆，對數學退避三舍。 　　在國中、高中的課堂上，一個班級中總有幾個數學不靈光、或老是蹺數學課的學生，但是老師並不會因此而放棄對這些學生的教導。他們總會設法找出適當的機會，以活潑有趣的角度來介紹數學史，內容包括埃及金字塔的數學問題、受婆羅門祭禮影響所發展出來的印度數學、發現畢達哥拉斯定理的由來、牛頓少年時期的軼事等話題，以引導的方式讓那些對數學不感興趣的學生也能專心聽講。 　　這種啟發性的教學方式，直接或間接的成了讓學生對數學產生興趣的契機。近年來，有不少教育界人士主張，必須在數學教育中加入更多數學故事──數學史，正是為了誘發學生學習數學的興趣。 　　我從大正時期（1912~1926年）到現在，長年以來服務於教育界，深深地體會到在平常的數學中加入數學史的重要性。也因教學的需要，蒐集了許多數學史的相關資料。 　　從書名就能看出，這套書希望能讓讀者以輕鬆的心情閱讀，並得以增長聰明的才智的數學書籍，跟「探究數學史」或「數學史之相關研究」之類艱深難解的數學史書籍不同，只單純地收錄一些數學史上的故事編輯成冊。雖然是較不生硬艱難的數學書籍，但是這本書中所提到的史實相關內容，都是經過考據求證，忠實地將典籍史料呈現給讀者。 　　本書內容大綱大致如下編排：第一章述說從遠古時期至現代數學的演進，第二章提到中國數學以及日本特有的日式算術。 　　日本人總覺得自己在數學方面的認知能力先天不足，因而感到自卑。大多數人認為日式算術只不過是以算盤來做加法計算，但是從江戶時代的關流數學（以關孝和為首的日式算術的學派）開始，許多學派均在數學研究上有驚人的成就，陸續出現幾位大數學家。為了讓日本人知道祖先的數學才能並不輸給其他國家，特別編輯了一個章節介紹日本的算術。 　　第三章收錄了數學相關的趣文軼事；第四章收錄從古代流傳至今的數學益智遊戲。 　　我並不是在此誇才賣智，這套書不只是在學學生可以把它當作課外讀物，國、高中的數學教師，若能撥冗閱讀拙著，更是我無上的榮幸，敬請不吝給予批評指教。 　　平日數學無緣的一般讀者，若能在茶餘飯後閱讀本書，從本書中得到啟發，我相信在教導子女學習數學上必見成效。 　　最後第五章收錄我以往在《應試數學》及《高中數學》雜誌發表的文章，文章內容均是我當時所見所聞，隨筆記錄下的感想。 　　謹請批評指正為荷。 　　（註：本書作者的所有著作，在日本都成為中學與大學課本，並且幾乎全部翻譯成簡體字版本在中國出版發行。）