數學女孩秘密筆記：公式‧圖形篇

高中生必讀《數學女孩》系列大解析！ 匯集讀者疑問， 掌握公式，難題迎刃而解！ 　　麗莎、由梨、蒂蒂、米爾迦再次聚首， 　　聆聽你的疑問、滿足你的需求， 　　輕聲化解困惑，數學公式化成絢爛彩虹。 　　日本亞馬遜讀者好評不斷！ 　　「讓小學生都能愛上數學！」 　　「數學基本概念再發現！終於搞懂正反比、數式的移動！」 　　「最佳教材，可隨身攜帶的實用數學讀物！」 　　別以為這只是一本參考書， 　　《數學女孩》的講解比教科書全面！ 　　由淺入深，全面關照，日本第一數學讀物， 　　帶你真正深入數學。 　　你將發現疏忽的小細節，其實蘊含重要觀念 　　確實掌握基礎， 　　打通任督二脈， 　　從此愛上數學！ 　　公式的「文字」掌握解題秘訣？ 　　雙曲線蘊藏驚人秘密？ 　　公式立不出來，如何解題？ 　　不摸透公式，不能透徹理解數學！ 　　擾人的公式問題，交給數學女孩！ 　　掌握數學的根本，在最基礎的算式之中，尋獲最珍貴的數字祕寶。 　　受到各國讀者喜愛的經典數學小說《數學女孩》 　　多年來帶領高中讀者， 　　輕鬆踏入費馬最後定理、哥德爾不完備定理、隨機演算法、伽羅瓦理論的世界， 　　度過充滿數學趣味的青春。 　　如今！ 　　數學女孩再次回歸！ 　　結城浩統整讀者寫於留言板的疑問， 　　召喚貼心的數學女孩， 　　解說所有關於「公式與圖形」的問題！ 　　現在就向數學女孩許願， 　　走出數式迷陣！ 　　本書作者出版「數學女孩」系列的數學讀物，用一群高中生的浪漫青春故事，結合詳細、有趣的數學辯論，講述費馬最後定理、哥德爾不完備定理、隨機演算法、伽羅瓦理論等主題。而數學女孩秘密筆記系列是作者集結網路上，讀者針對數學女孩系列提出的問題，整理成篇，以人物談話的方式，再次深入解說各個數學概念。本書為公式‧圖形篇，集中討論讀者對公式與圖形的疑惑，貫通公式與圖形的觀念，切中要點，突破數學問題的盲點，讓讀者開竅，掌握數式奧秘。

　　前師範大學數學系教授兼主任　洪萬生◎審訂推薦

獻給你--------iii 序章--------vii 第1章文字與恆等式------1 1.1在圖書室------1 1.2相同的文字會出現在哪裡呢？------5 1.3不擅長心算？------7 1.4數學式的開展-----15 ●第1章的問題-----18 第2章聯立方程式的呈現------21 2.1轉換成語言很困難------21 2.2在我家------22 2.3答案是給評分者的訊息------24 2.4龜鶴算------34 2.5深入思考，解開問題------38 2.6使用數學來解決問題------41 ●第2章的問題-----46 第3章數學式的剪影-------49 3.1清澈的雙眼-------49 3.2在圖書室------50 3.3數學式寫法-----51 3.4多項式寫法------54 3.5多項式寫法的目的------59 3.6描繪一次函數的圖表-----65 3.7描繪二次函數的圖表-----71 ●第3章的問題-------81 第4章純粹的反比------83 4.1純粹------83 4.2我的房間------83 4.3折線圖-------87 4.4正比----------90 4.5正比的圖形﹝通過原點的直線﹞-------96 4.6正比與反比------105 4.7改變數學式的樣子------112 4.8在正比的圖表中，a代表什麼？-----117 4.9在反比的圖表中，a代表什麼？-----121 ●第4章的問題------126 第5章交點‧切點-----129 5.1在圖書室------129 5.2關於x軸--------131 5.3關於拋物線------136 5.4交點------144 5.5切點------156 ●第5章的問題-------164 終章-------167 解答--------175 給想要更深入思考的你------199 後記--------213 索引--------217

序章 　　本書是一場對話。 　　與國中生由梨， 　　與高中生蒂德菈、米爾迦， 　　共同展開對話。 　　對話之中，交織各種狀況。 　　有疑問、解答、認同、反駁、讚賞、不滿。 　　也有空間、時間。 　　以及──── 秘密。 　　透過對話，我們擁有共同的秘密。 　　數學式與圖表蘊藏的秘密，都為我們共有。 　　例如，恆等式。 　　例如，聯立方程式。 　　例如，拋物線。 　　例如，雙曲線蘊含的秘密。 　　本書是一場對話。 　　是與朋友的共同體驗，彼此分享的秘密。 　　困難容易，一點也不重要。 　　有解無解，一點也不重要。 　　認真面對，認真思考。 　　真切詢問，真切回答。 　　共同的體驗，會成為我們的新秘密。 　　解開秘密的對話，將是我們的新秘密。 　　沒有人會知道， 　　沒有人能搶走， 　　成為如此重要的秘密， 　　是的，這就是────我們的對話。

2.4 龜鶴算 ＊註：相當於台灣的數學題型「雞兔同籠」。 我：「果然沒錯！由梨，這是龜鶴算的題目，妳看應用題！」。 問題（龜鶴算） 白鶴和烏龜加起來有五隻。 白鶴和烏龜的腳加起來有十六隻。 請問白鶴與烏龜各有幾隻？ 由梨：「咦……」 我：「妳跟不上嗎？」. 由梨：「真是麻煩！」 我：「妳終於說出口了，由梨是怕麻煩的人！我們剛剛已解開聯立方程式，現在一點也不麻煩，只需這麼想……」 白鶴有x隻。 烏龜有y隻。 白鶴和烏龜加起來有五隻， 因此，x+y=5成立。 由梨：「沒錯，沒錯。」 我：「在此，我們將題目的『白鶴和烏龜加起來有五隻』轉變成數學式x+y=5。」 我的手指著講義題目，向由梨說明。 由梨：「沒錯，沒錯。」 我：「同樣地，我們再將『白鶴和烏龜的腳加起來有十六隻』轉換成數學式。」 一隻白鶴的腳有兩隻， 如果白鶴有x隻，共有2x隻腳。 一隻烏龜的腳有四隻， 如果烏龜有y隻，共有4y隻腳。 白鶴與烏龜的腳總共為十六隻，因此2x+4y=16成立。 由梨：「沒錯，沒錯。」 我：「2x+4y=16出現，代表此題目的聯立方程式出現。」 x+y =5 2x+4y=16 由梨：「沒錯，沒錯。」 我：「到目前為止，我們已把龜鶴算的應用問題轉換成數學式， 即『建立一個聯立方程式』。」 問題（龜鶴算） 白鶴和烏龜共五隻。 白鶴和烏龜的腳加起來有十六隻。 請問白鶴和烏龜各有幾隻？ 解答 白鶴和烏龜的數量，可以寫成第一個數學式。 假設白鶴有x隻， 假設烏龜有y隻， 因為白鶴和烏龜加起來有五隻，因此x+y=5成立。 腳的數量，可以寫成第二個數學式。 隻白鶴的腳有兩隻，而白鶴有x隻， 因此，白鶴的腳共有2x隻。 每隻烏龜的腳有四隻，而烏龜有y隻， 因此，烏龜的腳共有4y隻。 白鶴和烏龜的腳共有16隻， 因此2x+4y=16成立。 因此，以下的聯立方程式成立。 x+y =5 2x+4y=16 解開此聯立方程式，求得x=2，y=3。 由此可知，白鶴有兩隻，烏龜有三隻。 答白鶴有兩隻，烏龜有三隻由梨：「沒錯，沒錯。」 我：「由梨，妳一直『沒錯，沒錯。』地說個不停。」 由梨：「因為哥哥說的都是無可反駁的事啊。反覆地說，很無趣耶。」 由梨梳理自己的馬尾。 我：「因為妳說『很麻煩』，我才帶著妳再做一次耶！」 由梨：「可是我懂這個部分，只是這類問題總是要把算式寫得很詳細，非得用聯立方程式不可，超級麻煩。明明都懂，還是得寫。」 我：「咦？所以呢？」 由梨：「白鶴和烏龜都是『剛好的數』，只要深入思考就能知道答案啊。」 我：「『剛好的數』是指整數嗎？」 由梨：「整數是什麼？」 我：「整數是…… 3、2、1、0、1、2、3……這些數。」 由梨：「喔……這是整數呀！」 我：「白鶴和烏龜的數量必定是大於0的整數，亦即0、1、2、3……」 由梨：「所以我說好好思考就能解開題目。白鶴和烏龜共有五隻，腳共有十五隻，所以各是兩隻與三隻！」 我：「由梨怎麼思考呢？」 由梨：「嗯……如果五隻都是白鶴，加起來只有十隻腳。」 我：「說的沒錯。如果白鶴有五隻，因為一隻白鶴有兩隻腳，5×2=10，所以腳的總數是十隻。然後呢？」 由梨：「因為題目說共有十六隻腳，因此，若全部都是白鶴，腳的數量太少。因此，去掉一隻白鶴，加上一隻烏龜，共有十二隻腳。」 我：「對，很好。腳的數量由十隻增加為十二隻。」 由梨：「為了讓腳的數量與題目相合，必須重複剛剛的思考過程。」 我：「意思是指，因為共有十六隻腳，所以白鶴有兩隻，烏龜有四隻吧？」 由梨：「沒錯！像這樣深入思考就能解開題目，根本不需要特意寫出聯立方程式。」 我：「妳說的沒錯。這個題目確實不需要聯立方程式。」 由梨：「是吧？」 我：「由梨，我同意這個題目不需要聯立方程式。但是，我們現在討論的不只是『求出白鶴和烏龜的數量』。」 由梨：「咦？」 我：「我們不只要『求出白鶴和烏龜的數量』，而且要透過這個題目，學習『使用數學來解決問題』。」 由梨：「我不懂，這是什麼意思？」2.6 使用數學來解決問題 我：「一如妳剛剛說的，求白鶴與烏龜的數量，只需深入思考，因為這是個非常單純的問題。但是，我們是要藉由單純的問題，來學習如何深入思考解不開的題目。例如，『以文字表示未知數』或『以聯立方程式表示各個未知數之間的關係』。」 由梨：「哥哥，等一下。我覺得你好像要開始說很重要的事。」 我：「能用一句話概括『假設白鶴有x隻』，是一件了不起的事，因為即使我們把題目讀完，也不知道白鶴的數量。白鶴是未知數，必須『以文字表示未知數』，而我們以x來表示白鶴的未知數。」 由梨：「我們以y來表示烏龜的未知數？」 我：「正是如此，因為我們不知道究竟有幾隻，所以用『不知道』來處理『不知道』，使用文字將未知數寫下來。」 由梨：「使用文字將未知數寫下來……」 我：「這樣即能寫好方程式。」 由梨：「聯立方程式嗎？」 我：「沒錯！我們要將這個題目寫成聯立方程式。」 由梨：「了解。」 我：「設白鶴有x隻，烏龜有y隻，接著我們必須思考x與y究竟會成就何種關係？意思是說，我們必須寫一個方程式，讓x與y的關係成立，『以聯立方程式表示各個未知數之間的關係』。仔細聽！哥哥現在說的事，對解數學題目來說很重要。剛才由梨用龜鶴算，具體地思考了一遍。這麼做很好，妳很聰明，但我希望妳記住『以文字表示未知數』以及『以聯立方程式表示各個未知數之間的關係』，這真的很重要。」 由梨：「……」 我：「由梨，妳有在聽嗎？」 由梨：「有啊！」 我：「剛剛那個簡單的題目，妳一口氣做答完畢。但是，如果遇到難度高一點的題目，這個做法會行不通。所以，思考題目不能一下子跳到答案，要像我一樣，養成分段思考的答題方式。」 由梨：「……」 我：「一開始，請專注於『把什麼置換成x』以及『把什麼置換成y』，即『以文字表示未知數』。接著，思考『x與y要建立何種關係？』，即『以聯立方程式表示各個未知數之間的關係』。」 由梨：「然後呢？」 我：「聯立方程式成立後，換數學上場。此時，請運用數學的方法來『解方程式』，回想x與y究竟代表什麼。實行這些步驟即是使用數學解題。」