數學思辨之旅：拆解國中數學，建立數學素養與能力

為什麼要學數學？ 反思、論證、練習與解題 跟著數學家探索世界 　　數學史、定義與公式解說、習題演練…… 　　數學領域的價值與意義是什麼？ 　　從現實到抽象，將文字化為數學語言。 　　數學素養的培養，從國中數學開始 　　目的在於培養解決問題的能力！ 　　ＮＨＫ、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》 　　日本各大媒體雜誌報導， 　　東京大學畢業、數學奧林匹克參賽者， 　　日本最強數學補習班創辦人、數學教育專家 　　──永野塾主持人永野裕之， 　　帶你從國中數學開始， 　　探索基礎數學領域：幾何、代數、函數、機率與統計學。 　　永野裕之老師，累積十數年教學經驗，有感於學生會解題、考試拿高分，卻沒有數學素養，因而決定拆解國中數學，從數學史的發展切入，提醒大家，學習數學目的在於培養解決問題的能力。在反思、論證、練習與解題的過程中，體會從現實到抽象，運用人類獨具的想像力，將文字化為簡潔的數學語言，最終建立數學素養與能力。 　　「圖形──幾何學」的學習重點： 　　Ｉ「論證」方法 　　II 分類的方法與運用 　　III採取不同的視角 　　「數與式──代數學」的學習重點： 　　I 想像力 　　II 合理的過程 　　III 簡化題目 　　「函數──分析學」的學習重點： 　　I 變數 　　II 因果關係 　　III 1對1對應（圖） 　　「資料的運用──機率、統計學」的學習重點： 　　I 比較的合理性 　　II 資料的整理 　　III 隨機

　　前師大數學系主任　洪萬生　老師　　審訂

序言 第1章 圖形──幾何學 哲學始於幾何學 巴斯卡的說服術 廣為流傳《幾何原本》的定義與公理 「分類」方法與運用 不同視角──訓練水平思考能力 學會「好的形式」──證明（論證）推演方法（國二） 何謂「正確的推論」？ 證明的第一步──三角形的全等性質（國二） 「外項的積＝內項的積」──三角形的相似性質（國三） 相似的問題練習 國中數學的重點──畢氏定理（國三） 蘊含許多定理的「美麗圖形」──圓（國二、國三） 圓的題目練習 練習從「相反的視角」切入──面積和長度（國二） 練習「轉換的視角」──畢氏定理的應用（國二） 第2章 數與式──代數學 西方希臘、東方印度 長年不被接受的「負數」概念 誕生於古代東方文明的「代數學」 兩位代數學之父 求解方程式的要素 算術和數學的差異 挑戰各種公式解 演繹思考的利弊 概念性的數──負數（國一） 「負數×負數＝正數」的理由 看不見卻存在的數──平方根（國二） 適用於《幾何原本》的正確解題法──一次方程式（國一） 代入法才是消去未知數的捷徑──聯立方程式（國一） 挑戰國中數學最難的數學式變形──二次方程式（國二） 簡化題目的練習──方程式的應用（國一到國三） 第3章 函數──分析學 邂逅「變數 笛卡爾的「革命」──解析幾何學的誕生 歐拉開創的「分析學」 日本的「函數」淵源 因果關係 1對1對應的用法──「計算」的語源 邂逅變數──函數 推導函數的基本──變化的比例 追查原因──函數的利用（國一到國三） 觀察變化──函數與圖形（國一至國三） 第4章 資料的運用──機率、統計學 機率論發展初期的爭論① 機率論發展初期的爭論② 機率論發展初期的爭論③ 「拉普拉斯」的惡魔 統計學家最有吸引力嗎？ 近代統計學之父 南丁格爾與統計學 茶會與推測統計 隨機的困難度與重要性 確認「出現機率相同」──機率（國三） 掌握資料的特徵──資料整理（國三） 由部分推測全體──抽樣調查（國三） 結語 日文參考文獻 數學史相關年表

序言 　　一開始我必須先說清楚，本書不是從頭學習國中數學。 　　本書沿循著數學歷史，以國中數學來傳達學習數學的意義與價值。 　　你還記得升上國中一年級時的春天嗎？背後少了雙背帶書包，內心是不是感到些許不安呢？穿著寬鬆的制服、看見校園內學長姐的姿態，是不是強烈意識到自己登上大人的階梯呢？我到現在依然記得，開始上數學課時內心萌生「我已經不是小孩子」的感覺。 　　雖然這麼說，但不久之前還是小學生，實際上也還是小孩子。即便從算數轉為數學，對名稱上的變化感到強烈衝擊，也沒有足夠的能力瞭解其中的差異。 　　我們經常聽到──特別是對數學感到棘手的人── 　　這樣說：「出社會後，數學就用不到啦，為什麼還要學得那麼辛苦呢？雖然加減乘除還會用到，但學習數學根本就沒有好處。」 　　對數學老師來說，這是非常悲哀的想法，相信拿起這本書的你肯定沒有這樣的想法，但這也是無可奈何的，對知性、感性都尚未成熟的國中生來說，想要他們瞭解學習數學的意義、價值，的確是相當困難的事情。 　　然而，轉眼間升上高中，心智皆將成熟的時候，數學卻變得格外困難。不要說瞭解其中的意義、價值，大多數人煞費苦心才勉強考到及格。 　　正因為這樣，所以我才執筆本書。 　　數學是人類從史前時代，綿綿傳承下來的睿智結晶。嘗試翻閱數學的歷史，我想各位成熟的大人也會類似的感觸。在人類獲得永不褪色智慧的故事當中，為了讓讀者能體會箇中感動，我全心全意著述了本書。 　　本書將國中學到的數學分成幾何學（第1章）、代數學（第2章）、分析學（第3章）、機率統計學（第4章）四章，各章前半部分記述相關的數學史，後半部分統整希望讀者在該領域學得的東西。另外，內容也適時穿插「問題」，但本書（基本上）不是學習用的教科書，不擅長數學的讀者可以快速瀏覽感到困難的地方。當然，自負有能力的讀者，請一定要挑戰看看這些問題，體會解開問題的樂趣。 　　那麼，我們就開始吧。接觸後述內容中天才們的偉業之後： 　　「啊啊，數學果然是全民應該學習的學問。」 　　若能產生這樣的想法，這是筆者我最大的榮幸。

第 2 章 數與式——代數學 藉由中學的數與式學習： I想像力 II合理的過程 III簡化題目 西方希臘、東方印度 如同第1章所述，希臘透過幾何學發展了論證數學，但對希臘人來說，「數學」的討論對象主要是圖形，他們處理的多是長度、面積等「量值」，比較沒有發展數的計算技術。 與此相對，印度推展了數的計算技術。這與印度人早先採用以十種「數」（如今的阿拉伯數字）來表示所有數的「進位計數法」，有密切關係。印度人很早就發明「0」的概念，最晚約從第五、六世紀開始，便已使用現代的阿拉伯代數學數字來表示數的概念。 其他古代文明則發明了羅馬數字、中文數字，採用遇到進位便使用新數字的「數位計數法」。 以數位計數法來記錄數字較為方便，例如以阿拉伯數字表示「 1000038 」，沒有辦法一眼就看出數值為何，但若以數位計數法的中文數字表示成「一百萬○三十八」，馬上就可以看出數值。然而，若以數位計數法計算「一百三×二十九」，你會很不知所措吧！與此相對，計算「 103 × 29 」簡單許多。實際動手操作，你就能體會進位計數法在計算上有著壓倒性的優勢。 之後，約五、六世紀，隨著0概念的發明，東印度採用了進位計數法，致力於發展計算技術的數學。 長年不被接受的「負數」 大約七世紀時，印度人最先想出小於0的數負數，歸功於當時他們發展出最先進的數文化，但「負數」，但並非發想自數學家。 發明負數概念的是印度商人，他們將「 100萬元的借款」表示成「 100萬元的利益」，這是最早的負數例子。 印度數學家很快地接受了負數的概念，在七世紀中期的印度數學書籍中，即可發現有關於負數的記載。另一方面，歐洲數學家到了十七世紀才接受負數的概念。 在長達千年的歷史中，西方數學家頑強地反對將負數納入數學領域，這是為什麼呢？因為負數是抽象的，需要想像力。例如，但我們沒有辦法具體舉出「－3個麵包」。就無法具體表示這點來說，負數和正數完全不一樣，負數是屬於概念性、抽象性的。 而且，若單純僅把負數當成「比0小的數」，那麼負數的計算，尤其是乘法、除法，會令人不知道怎麼計算。 想要理解負數的四則運算，我們必須在腦中想像負數是什麼樣的數，並且給予明確的定義。當然，這並不容易。事實上，即便是現代人，能夠清楚說明負數乘負數會變成正數，應該也是屈指可數吧（本章的後半部會解說（ 1 ）×（ 1 ）＝＋1 ）。 除了負數，中學數學還會學到「無理數（平方根）」。「無理數」也是需要想像力的數。人類不同於其他動物的能力，有一個即使是看不見實體，也能以概念的方式進行抽象理解。 若能透過抽象概念，理解事物，我們的思考力便能大幅躍進。藉由產生概念、深化概念，我們能夠更進一步地理解這個世界。 數學程度愈高深，需要想像力的抽象理論會愈多。中學數學所學的負數和無理數，是我們透過概念來看世界的初體驗。 誕生於東方古代文明的「代數學」 從希臘、印度數學大幅進展的時代往前數千年，在埃及、美索不達米亞、印度河流域、中國這「四大古文明」繁盛的時期，一般人民已在生活中使用「數學」的智慧。 四大古文明都發展於大河附近，由於無法躲避河川的氾濫，因此為了修建家園，必須具備測量、作圖技術。 此外，當時已經有徵收稅金的制度，不難想像「計算」成為人們必備的技能。人們從很久以前就會有邏輯地思考事物、以紙筆計算。 數學作為與生活息息相關的技術（算數），已有悠久的歷史，尤其是埃及和美索不達米亞（合稱為近東地區），進步更是令人驚歎。 有些文物反映了古代近東地區的「數學」卓越成就，那就是大約西元前1800年的數學書《萊因德數學紙草書（ Rhind Mathematical Papyrus ）》（現藏於英國大英博物館）。這是亨利．萊因德（ Henry Rhind ）向發現者收購的收藏品，因而得名。 順便一提，紙草是古埃及使用的紙張原料，據說英語paper的語源就是紙草（ papyrus ）。此紙草書收錄了約九十道「題目」，包括「阿哈（ aha ）問題」（阿哈意指堆積如山的穀物量）： 「某數加上它的17為19，試問某數為多少？（問題24）」 將某數（未知數）設為xx＋17x ＝ 19 即可成立基本一次方程式，但人們將這個問題表示成數學式，一直到十六世紀末才發生。 那麼，古埃及人如何解決這個問題呢？他們先假設一個解，例如，假設此問題的解為「7」： 7＋17× 7 ＝ 8 代入計算的結果為「8」，但問題要求的是「19」，19是代入「7」所得結果的「198」倍。