西方数学文化理念传播译丛·什么是数学：对思想和方法的基本研究（第3版）

　《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第3版）》是世界知名的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读此书。特别对中学数学教师、大学生和高中生，都是一本极好的参考书。

　本书是“对整个数学领域中的基本概念及方法的透彻清晰的阐述。” 　　—— A·爱因斯坦 　　 　　本书既是为初学者也是为专家，既是为学生也是为教师，既是为哲学家也是为工程师而写的。《什么是数学》是一本数学经典名著，它搜集了许多闪光的数学珍品，它们给出了数学世界的一组有趣的、深入浅出的图画。本书传至今日，又由I·斯图尔特增写了新的一章。此第三版以新的观点阐述了数学的全新进展，叙述了四色定理和费马大定理的证明等。这些问题是在柯朗与罗宾写书的年代尚术解决，但现在已被解决了的。 　　 　　一个光辉的文献故事，《什么是数学》开启了一扇认识数学世界的窗口。 　　 　　“毫无疑问，这本书将会有深远的影响，它应当人手一册，无论是专业人员抑或是愿意做科学思考的任何人。” 　　—— 纽约时报 　　 　　“一本极为完美的著作。” 　　—— 数学评论 　　 　　“太妙了……这本书是巨大愉快和满足感的源泉。” 　　—— 应用物理杂志 　　 　　“这本书是一部艺术著作。” 　　—— M·莫尔斯 　　 　　“这是一本非常完美的著作。……被数学家们视作科学的鲜血的一切基本思想和方法，在《什幺是数学》这本书中用简单的例子使之清晰明了，已经达到令人惊呀的程度。” 　　—— H·外尔

什么是数学 第1章 自然数 引言 1 整数的计算 1．算术的规律 2．整数的表示 3．非十进位制中的计算 2 数系的无限性 数学归纳法 1. 数学归纳法原理 2．等差级数 3．等比级数 4．前n项平方和 5．一个重要的不等式 6．二项式定理 7．再谈数学归纳法 第1章补充 数论 引言 1 素数 1．基本事实 2．素数的分布 2 同余 1．一般概念 2．费马定理 3．二次剩余 3 毕达哥拉斯数和费马大定理 4 欧几里得辗转相除法 1．一般理论 2．在算术基本定理上的应用 3．欧拉函数 再谈费马定理 4．连分数 丢番都方程 第2章 数学中的数系 引言 有理数 1. 作为度量工具的有理数 2．数学内部对有理数的需要推广的原则 3．有理数的几何解释 2 不可公度线段 无理数和极限概念 1．引言 2．十进位小数 无限小数 3．极限无穷等比级数 4．有理数和循环小数 5．用区间套给出无理数的一般定义 6．定义无理数的另一个方法戴特金分割 3 解析几何概述 1．基本原理 2．直线方程和曲线方程 4 无限的数学分析 1．基本概念 2．有理数的可数性和连续统的不可数性 3．康托的“基数” 4．反证法 5．有关无限的悖论 6．数学的基础 5 复数 1．复数的起源 2．复数的几何解释 3. 棣莫弗公式和单位根 4．代数基本定理 6 代数数和超越数 1．定义和存在性 2．柳维尔定理和超越数的构造 第2章 补充集合代数 1．一般理论 2．在数理逻辑中的应用 3．在概率论中的一个应用 第3章 几何作图数域的代数 引言 第1部分 不可能性的证明和代数 …… 第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何 第5章 拓扑学 第6章 函数和极限 第7章 极大与极小 第8章 微积分 第9章 最新进展 参考书目1 参考书目2（推荐阅读）

柯朗和罗宾关于五色定理的证明（见第270页），是取自开姆玻（Arthur Kempe）的工作。开姆玻是一个律师和业余数学家，他在1879年发表文章，声称证明了四色定理。他用的是数学归纳法（见第15～28页）的另一种形式，即所谓存在“最小正规地图”。其基本思想是，若四色定理不成立，那么必存在着需要五种颜色上色的地图，如果这种“糟糕”地图存在，可以把它们以各种不同方式组成更大的地图，使得所有这些地图也都需要五种颜色上色，由于使“糟糕”地图变大的做法没有任何意义，我们可以，从相反的方向着手，去看最小的“糟糕”地图，称它为最小正规地图。由最小自然数原理（见第26页，它等价于数学归纳法）知，若“糟糕”地图存在，那么最小正规地图一定存在，最小正规地图有如下特性：它需要五种颜色上色，但任何区—域数少于它的地图只需四种颜色上色。证明的做法是，通过揭示上述特性，给出最小正规地图的结构，直到最终说明最小正规地图不可能存在。由于产生了矛盾（见第100页的反证法），四色定理一定成立。 开姆玻的思想是，取一个最小正规地图，然后造一个与它相关、但比它小的地图，由于所取的地图是最小正规的，这较小的图是可以用四种颜色上色的。然后，他试图由此说明原来的图也能用四种颜色上色，具体地说，他的做法是，取一个最小正规地图，然后把某个适当的区域缩小，成一个点，这样得到的地图，区域比原来少，可以用四种颜色上色。如果把缩小的区域恢复回来，再找一种颜色给它上色，同时不改变其他区域的颜色，一般来说，这是不可能的。因为，原来与这个缩小的区域相邻的区域，它们之间可能已经用了四种颜色上色。但是，这个缩小的区域，如果是一个三角形，即它只和三个区域相邻，那就不成问题。如果是一个四边形，用一种现在称为“开姆玻链”的巧妙办法交换颜色，可以改变与它相邻区域的颜色，从而也能解决问题，如果是一个五边形，开姆玻宣称，可以用一种类似的办法处理。并且，他证明了，每一个地图必包含一个区域，它要么是三角形，要么是四边形，要么是五边形，因此，总存在一个合适的区域可以被缩小，再恢复。 1890年，黑伍德（Percy Heawood）发现了开姆玻在处理五边形区域时的一个错误。他认识到，把开姆玻的方法做一些修改可以证明，用五种颜色就足够了，多了一种颜色可以使得缩小的五边形很容易恢复，本书第270页给出的就是这一证明。但，另一方面，人们找不到必须要用五种颜色才能上色的地图。 1922年，富兰克林（Philip Franklin）证明了，任何一个不超过26个区域的地图可以用四种颜色上色，他的方法，以及其可约构形的思想，成为最终证明四色定理的基础。一个构形是指，地图中的一组连接着的区域，以及关于每个区域外边有多少个区域和它相邻的信息，为了看到可约性的意义，考虑缩小和恢复一个三角形的例子，把三角形缩小成一个点，假定缩小后的地图（它比原来少了一个区域）能用、四种颜色上色，那么原来的地图也能用四种颜色上色。这因为三角形只和三个区域相邻，当把这三角形恢复后，可把剩下的第四种颜色给它上色。一般说来，给定一个构形，我们考虑：包含它的任意一个地图，如果只要把这构形缩小后得到的地图能用四种颜色上色，这个地图就也能用四种颜色上色，我们称这样的构形为可约的，类似前面的讨论知，四边形是可约的，开姆玻认为五边形也是可约的，但是他错了。 ……