案發現場：FBI警探和數學家的天作之合

解密影集背後的數學， 引領百萬人以全新觀點看待數學 　　2005年1月，《數字搜查線》這部電視犯罪影集開始上演，引起轟動。這個故事中的兩個英雄人物一位數學家──查理──使用有力的數學技巧，協助哥哥唐（FBI警探）鎖定並捕捉罪犯，也成為家喻戶曉的人物。 　　本書作者為該影集背後的數學顧問，為了回應廣大聽眾對於「螢幕上顯示的數學，是否真能解決聳人聽聞的刑案？」的疑問，將影集裡面FBI與CIA警探所使用的數學推論和技巧，透過本書呈現出來。果然，影集並非虛構，數學真的可以用數學來破案，甚至影集中的故事就是出自真實案例！ 　　●一位連續強暴犯／殺人兇手在洛杉磯逍遙法外。該如何利用數學方程式，剖析連續犯案者在犯案地理上的模式，透過回溯犯罪地點，偵破案件？ 　　●這是個真實案例。有位護士只要值班，那天就有許多病人因心臟停止跳動而死亡，而引起同事的猜測和懷疑。這是正常的偶發事件，還是蓄謀犯罪？該如何利用統計分析來看出這與偶發事件之間的顯著差異，從而以統計打擊犯罪？ 　　●執法機關一般把注意力放在重大犯罪上，而輕忽了輕微罪行像是商店或住家盜竊這類案件。然而，若單獨個人或是有組織的犯罪集團，定期犯下這類案件，累積起來也會成為引起警方高度重視的重大犯罪活動。該如何從每日發生的大量微罪案件中，辨識個人或幫派組織所犯下的群聚案件呢？ 　　●如何從統計訊息上的變化，辨識出某個趨勢的改變已經發生了？數學家創造出「改變點偵測」系統，不但可以偵測出棒球選手是否開使用藥，也能廣泛應用在恐怖攻擊預測和傳染病疫情監控上。 　　●麻省理工學院三位數學家選用兩個大質數的乘積，作為通訊的加密金鑰，成為網路通訊安全密碼系統的重要基礎。但若在大數目的質因數分解上得到重要突破，互聯網商業系統是否將會立即崩潰，並伴隨著重大的經濟衝擊呢？ 　　●在賭場的21點遊戲中，該如何透過算牌這個數學家的祕密武器，取得勝牌的優勢？而賭場為了防治這些算牌者，又有什麼對策防堵呢？ 　　《案發現場：刑警和數學家的天作之合》就像一本蘊含豐富又正確物理與化學知識的優秀科幻小說。每個案件不僅有個戲劇性故事，數學更在敘事中扮演不可忽視的關鍵角色。在這本書中，你將會發現數學「可以」，而且「是」被應用在打擊真實的犯罪，並且捕捉真正的罪犯。

　　洪萬生（台灣數學家，國立臺灣師範大學數學系退休教授）

推薦序 隱藏在《數字搜查線》影集背後的數字 文 / 洪萬生(國立台灣師範大學數學系退休教授) 每個刑事伯的左腦中都住著一位數學家 文 / 莊仵作 (警察大學鑑識所畢，現任高雄市政府警察局偵查員) 導言 本劇英雄人物是一位數學家？ 第一章 找尋熱區： 犯罪地理剖繪 第二章 用統計對抗犯罪： 死亡天使的秘密 第三章 數據挖掘： 在大量資訊中找尋有意義的模式 第四章 改變點偵測： 災難即將發生的證據何時開始浮現？ 第五章 影像強化與重建： 雷金納德･丹尼毆打事件 第六章 預測未來： 用貝氏推論搜捕逃犯 第七章 運用DNA辨識重建罪犯身分 第八章 密碼的編寫與破解： 解鎖世上最大的金融秘密 第九章 證據有多可靠？ 指紋的疑慮 第十章 新型態的戰爭，新型態的數學： 連結點與網絡的數學 第十一章 髒彈疑雲： 囚徒困境的風險分析和反恐行動 第十二章 綁馬尾的金髮美女： 法庭審訊裡的數學 第十三章 賭場謀殺案： 利用數學來打敗系統

推薦序 兩種思考進路的交織與互動 國立台灣師範大學數學系退休教授 洪萬生 　　《數字搜查線》（NUMB3RS）是一部空前成功的警匪主題影集，它的獨特之處，在於影片中的FBI警探唐・艾普斯（Don Eppes）在主導辦案時，大都依賴他的弟弟查理・艾普斯（Charlie Eppes）──一位天才數學家的協助，而得以最終破案。 　　這本書就是試圖說明數學在這部影集中所扮演的角色。它的兩位作者齊斯・德福林與蓋瑞・洛頓都是數學家。前者對於數學知識普及不遺餘力，他的數學普及著作已有多本中譯版在台問世，是一位相當受到矚目的數學普及作家，此外他在美國加州擔任許多企業公司的數學顧問。至於後者，則是本部影集編劇小組中的數學顧問。因此，由他們兩位來帶領數學這個「角色」出場，可說再恰當不過。 　　儘管在本書中，作者只是從前三季的影集（共有六十一集）中選出幾集來進行相關的數學之說明，然而這已足以凸顯數學在支援警探唐辦案時，所發揮的不可思議功能。這也難怪，因為辦案與解題（problem solving）本來就頗有異曲同工之妙。更何況影集中的數學家查理總是運用（數學）建模（mathematical modelling）的方法，將刑案轉換成為一個數學方法可以介入的問題。事實上，誠如作者所指出： 　　無論一個特殊的數學技巧，是否真的一如我們所見查理運用般地被使用，我們相信實際上每一集都遭遇到的一件正確事情，就是查理針對唐提供給他的問題所引入的進路。他將一個議題濃縮到其本質元素，剝除不相干的東西，尋找可辨識的模式，看出是否有數學技巧可供應用（可能進行一點調整），或者──而這在許多故事集中都出現──在不可能應用任何數學的情況下，藉由類比，至少確定是否有一點數學（儘管無法應用到手上案例）可以建議唐應該如何往下走。 　　這種建模的能力，被德福林認為是21世紀數學教育應該培養的「創新的數學思考者」（innovative mathematical thinker）的必備素養，其能力指標內容包括：能夠提出新問題，按數學方式說出構成、識別並描述問題的面貌，並能以精確的方式運用數學敘述去分析問題。 　　因此，透過本書之說明，再配合影片情節之觀賞，讀者一定可以深刻體會數學建模的意義與價值。不過，作者卻認為這樣的期待並非本影集製作的初衷。因為「《數字搜查線》並不打算教觀眾數學，或甚至進行說明。它是關乎數學的娛樂節目，而且是耀眼成功的娛樂節目。本影集劇作家、研究者（數學家）以及製片，花了很大力氣，在製作美國網路電視一部最受歡迎的虛構犯罪影集的架構內，讓其中所涉及數學正確無誤。」儘管如此，本影集製片法拉奇伉儷是看到破案情節具有「兩種不同解題的人員互動之吸引力」，而得以成功說服美國派拉蒙網路電視公司製作並投入市場。 　　這兩種在方法論上可以「互補」的解題進路，其中之一如「唐進入犯罪現場，他的邏輯是出自一位經驗老到刑警的街頭智慧」，而在另一方面，則有查理「為這個問題帶入抽象邏輯思維的專業知識」。他們兩兄弟一起辦案，合作無間，「讓觀看者得以一窺他們倆不同的進路，如何交織與互動」。而這，「或許顯示數學思維與其他進路在解題時的互動，是一種非常真實世界的現象」，從而見證了吾人思維模式的多重面向，以及數學與其實用性在其中所佔有的關鍵地位。 　　基於數學之實用基調，以及不希望相關知識過度冰冷及抽象，而排斥一般閱聽大眾裹足不前，本影集劇組在編寫故事情節時，通常會考慮數學家查理是否可以運用簡要的解說，讓閱聽人多少理解其中所涉及的數學知識。因此，我們在本影集中，就可以看到機率論、統計學、圖論、賽局理論、作業研究、數論以及小波理論等應用。譬如說吧，首映的《序曲》是由真實案例改編，其故事略述如下： 　　一位連續強暴犯／殺人兇手在洛杉磯逍遙法外。查理根據犯罪地點回溯以鎖定兇手的住處，最後協助唐偵破這個案件。他從庭院灑水器得到靈感，以類比方式說明這個想法：你固然無法預測任意個別的水滴將會落在何處，不過如果你知道所有落下水滴的模式，你就可以回溯到灑水器的位置。利用由這些數據所導出的機率方程式（在影片中，你可以看到它曾出現在他家的黑板上），他標示出一個「熱區」，讓警探得以執行DNA樣本的全面搜尋，而追蹤到兇手。 　　根據本書作者的說明，發明這個公式的，是加拿大的羅斯姆 (Kim Rossmo)，他在成為數學家之前是一位警官。這個他所發明並運用數學來預測連續犯居住地點的技術，被稱為地理剖繪（geographical profiling），其中所涉及的數學，主要就是機率論。 　　除了機率論之外，統計學可說是被應用得最頻繁的辦案工具，而且其內容甚至只需要（大學課程被歸類為最初階的）Statistics 101就綽綽有餘了。事實上，本書第二章的英文標題即是Fighting Crimes with Statistics 101。還有，在本書中，作者也花了許多篇幅，說明統計學如何應用在打擊犯罪工作上。當然，統計相關的結論之所以有意義，端賴數據的多寡以及如何進行有意義的推論，因此，作者在本書中十分強調數據挖掘（第三章）及貝氏統計分析（第六章）的重要性。當然，數據挖掘（data mining）必須仰賴以下方法和工具：鍵接分析（link analysis）、幾何群聚（geometric cluster）、軟體代理、機器學習以及神經網絡，而所有這些都見證了人腦與電腦一起合作的巨大威力。 　　在尋找或鎖定嫌疑犯時，除了上述的方法和工具之外，在本書中作者也介紹查理如何應用圖論（graph theory，本書第十章主題）進行社群網絡分析（social network analysis），來尋找罪行的背後主謀。還有，如果警探打算進一步蒐集並確認證據，那麼，利用DNA分析來彌補傳統的指紋採集之不足（本書第七章主題），以及小波理論（wavelet theory，參見第九章）來比對及確認指紋，則是最新穎的偵測技術。在本書第九章中，作者藉由《數字搜查線》第一季〈身分危機〉的故事，說明傳統的指紋比對方法，如何可能逮捕與判決無辜的人。此外，他們追溯了20世紀初開始風行的「指紋神話」，以及FBI梅菲爾案上的指紋慘敗。同時，也提及FBI為了儲存及比對已經超過兩億張的指紋索引圖卡，必須尋求最有效率的方法，將指紋圖卡進行數位化版本的編碼。而FBI所選擇的解決方法，就是應用小波理論這一門非常新穎的數學分支。這種源自傅立葉分析（Fourier analysis）的小波編碼，會自動地在一張圖像中，挑選出與我們眼睛所看到的相同特徵。 　　上一段所提及的小波理論是相當高深的數學分支，它在指紋比對上的應用，充分見證基於現實問題所建立的數學──譬如，傅立葉分析乃源自熱力學問題之研究，最終一定可以在其原生地之外發現它的用途。相形之下，數論與密碼學之關連就顯得相當令人驚奇。先是在1976年，有兩位史丹福大學研究生迪非與赫爾曼發表了〈密碼學的新方向〉，在一篇里程碑論文中，他們提出一種稱之為「公開金鑰密碼系統」（public key cryptography）的加密系統，一支用來加密，另一支用來解密。這一套系統到了隔年，由MIT的三位數學研究員里貝斯（Rivest）、夏米爾（Shamir）及艾德曼（Adleman）進一步改良，而成為目前通用的RSA系統。有關這個系統的說明，我們可以引述本書作者在第八章的說明： 在RSA方法中用來解碼的私密金鑰，基本上包含兩個由使用者選擇的大質數（藉由電腦的幫助來選擇──而不是從公開的質數表列中隨便選，那樣的話，敵人就有機會取得）。公開的加密金鑰由兩個質數的乘積組成。因為目前沒有快速分解一個很大數目的方法，實際上幾乎不可能從公開的加密金鑰中來還原解碼金鑰。「根據」兩個大質數的乘積將訊息加密（一個簡單的計算工作），而以相反的分解過程來解碼（一個艱難的計算工作）。 　　事實上，本書第八章是基於《數字搜查線》第一季〈頭號嫌疑犯〉（Prime Suspect）的故事（其中prime一詞雙關），對於質數之實際用途，提供了進一步的說明。 　　質數這種純粹無關現實、完全出自人類好奇心驅使的抽象概念，如今有了實際用途，「無用之為大用」真是讓我們大開眼界。另一方面，本書所介紹的風險分析與管理（參見第十一章），是最初源自保險費的計算，目前在反恐作戰中大行其道的一門學問。至於它所連結的數學則是一般人不難上手的賽局理論，有許多讀者尤其是經由其最佳代言人非約翰．納許（John Nash，《美麗境界》電影主角），而對其門道略知一二。在本書第十一章中，作者以《數字搜查線》第一季的〈髒彈疑雲〉的故事為引子，從「囚徒困境」（prisoner’s dilemma）這個科普書籍的熱門題材開始談起，說明風險評估的總體目標，「就是要找出可以將總體成本最小化的行動組合，而總體成本就是行動的成本，加上採取行動之後的剩餘風險」。 　　總之，從科學普及觀點來看，本書之敘事有一些非常值得注意的特色。一般來說，類似本書主題的著述，大概都會「淪落」成為影片或影集的「附屬」說明書，而無法「獨立」成為一個閱讀對象。不過，本書兩位作者都有豐富的「數學普及」經驗──他們都擔任數學顧問，顯然需要經常對「門外漢」或「大老闆」解說數學如何有用，因此如何經由影集故事說明（一個求之不得的媒介，尤其是賣座的影集）來達到普及的目的，應該是兩位作者的最基本考量。事實上，他們就針對本書數學知識的「極可能」有用，提醒讀者：「思考這套影集有很多方式，最正確的是，就是拿它與好的科幻小說比較：在很多案例中，《數字搜查線》對於數學在偵破犯罪的一種特別應用，是未來可能、甚至也許會發生的事情。」 　　「科幻小說」的比喻主要關乎數學的實用面向，作者針對《數字搜查線》部分故事情節的說明，無不強調數學實用進路（包括如何建模）的不可或缺。基於此，本書無暇分享數學知識的美學或充滿興味的面向，當然也不令人意外。不過如果讀者有機會觀賞這一部影集，一定可以發現劇組在編寫故事時，還蠻用心地在相關情節中「插播」數學的有趣面向之片段，讓我們理解數學之道，除了「有用」的價值之外，「有趣」的意義也不遑多讓。 　　最後，針對中學課外讀物、高中特色課程乃至於大學通識課程的需求來說，我要大力推薦本書給正在規劃或設計教材的數學教師。運用影集及本書的相輔相成，讀者在觀賞影片之餘，進一步深究相關數學的學習動機，一定可以從本書的參考與研讀，而得到智性的滿足。 每個刑事伯的左腦中都住著一位數學家 莊仵作 (警察大學鑑識所畢，現任高雄市政府警察局偵查員) 　　「Everything is numbers」這句話是貫穿全書的精神。著名犯罪影集《數字搜查線》中的兩位主角設定分別是形而下世界中，真實社會英雄──FBI探員，而另一位，則是能夠窺探形而上學中世界，上帝造物編碼的英雄──數學家。有關FBI警探辦案的英勇與神奇，在各種電影或影集的訓練下，觀眾們已習慣他們在螢幕中的無所不能。但是我們更重視的是，為什麼影集中總是可以排除萬難偵破的案件，回到現實世界是不是遙不可及？ 　　作者在書中巧妙以FBI探員以及數學家兩個角色，來呈現真實世界中，分別居住在犯罪偵查人員左右腦中的兄弟檔，也是犯罪偵查人員所需具備的兩種核心人格特質：毅力以及邏輯性。由FBI探員唐所代表的勇氣與毅力，是我們可見且熟知的部分。而由數學家查理所代表的推理與邏輯，則是打破熟悉的動作角色，以數據資料配合邏輯分析，使犯罪偵查的突破更加貼近真實，並且能使犯罪偵查中所有的資料，能成為進入司法程序後的判決依據。 　　當真實世界有刑事案件發生時，犯罪偵查人員首先必須針對案情解構並分析，以有限的資料捕捉這個案件中犯嫌的可能動機、生活背景、作案工具、逃逸路線、銷贓管道等生活行為要素，套入刑事伯腦海中依長年經驗所建構，並依地域案類個不同的犯罪學模型進行研判，而這整組機密的模擬程序，都在本書中被數學家使用數學公式歸納的演繹方式鮮活地表達出來了！ 　　現今犯罪偵查技術中，不論是利用數學來預測連續犯居住出沒地的地理分析技術，追蹤人與人、事件與事件、地點與地點、組織與組織之間的鍵接分析，影像強化與重建，以機率的數值驗證使DNA物證取代指紋成為人別鑑定王牌等等，都是現行並成熟的偵查與鑑識技術。本書以戲劇性的角色將犯罪偵查人員的左腦與右腦分層演出，再以淺顯易懂的數學解說，使讀者能立即進入資深犯罪偵查人員數十年的經驗模型中，並令讀者迅速明瞭某些物證在司法判決中能具有絕對認定或排除的原因，是一本配上一杯好茶，便能夠輕鬆看、認真學的好書 ！

第二章 用統計學入門課對抗犯罪 (節錄) 死亡天使 1996年，克麗斯汀．吉伯特（Kristen Gilbert），一位三十三歲的離婚媽媽，有兩個分別為七歲和十歲的兒子。她是麻州北漢普頓退伍軍人事務醫療中心C病房的護士，在醫院同事間有良好的聲譽。有很多次，她是第一個注意到病人心跳停止、按下緊急鈕呼叫急救小組的護士。她總是很冷靜，管理病人盡職又有效率。有時候她在急救小組到達之前，就會先給病人注射刺激心臟的腎上腺素，試圖讓心臟重新跳動。這種方法偶爾能救回病人的生命，其他護士幫她取了個綽號：死亡天使。 但在同一年，有三名護士向醫院當局表達她們日漸滋生的疑問，有些事情不太對勁。她們覺得在那個特別的病房，有太多病人因為心臟停止跳動而死亡。同時，腎上腺素也好幾次出現原因不明的短缺。她們開始擔心，是不是吉伯特一開始就給病人大量的腎上腺素，導致他們心臟病發。如此一來，她便能扮演拯救他們的英雄角色，「死亡天使」這個綽號現在聽起來，比最初的意義還更為貼切。 醫院進行了調查，但沒有發現任何不尋常的事。特別的是，他們說那個病房的心臟病死亡率，和其他退伍軍人醫院大致上相同。然而醫院員工依舊心存懷疑，無法認同第一次的調查結果。後來，醫院又展開了第二次的調查，這次邀請一位專業的統計學家，即麻州大學的史蒂芬．蓋爾巴哈（Stephen Gehlbach），他仔細審查了這個病房病人心臟停止跳動和死亡的數目。基於蓋爾巴哈分析的結果，1998年聯邦檢察官辦公室決定召開大陪審團，聽取指控吉伯特的證詞。 部分證詞是她被指控的動機。除了追求警報聲響和急救過程的興奮感，還加上她承認拯救病患會帶給人英勇搏鬥的感覺，這被暗指她想讓也在醫院工作的男友，對她留下深刻印象。此外，她是能接觸到腎上腺素的人。但沒有任何人看過她給予病人致命的注射，因此針對她的指控都只是純粹引人聯想的間接證據。雖然涉及的病患多半是中年男性，並非潛在的心臟病患者，但他們的發病很可能是正常的偶發事件。因此，控告吉伯特犯下連續殺人罪的決定性因素，正是蓋爾巴哈的統計分析。 國家的科學 統計被執法機關廣泛地使用在許多方面和各種目的上。在《數字搜查線》中，查理經常使用統計分析，本書的許多章節也出現統計方法的使用，只是沒有清楚強調出來。但什麼是統計的真正意涵呢？為什麼最後這句話中的這個字（編注：statistics）是單數呢？ Statistics這個單字源自拉丁文statisticum collegium，意思為「國家委員會」，而義大利文statista意指「政治家」，反映出這個技術最初的用途。同樣地，德文Statistik這個字的原意是指有關國家數據的分析。直到19世紀，與之同義的英文用語是「政治算術」（political arithmetic），之後statistics這個字才被引入，指的是數據的收集和分類。 今天，statistics有兩個互有關聯的意義。第一個是指數據的收集和列表；至於第二個，則是指運用數學和其他方法，從列出的數據中獲取有意義和有用的結論。有些統計學家將前者稱為「小s統計」（little-s statistics），後者則稱為「大S統計」（big-S Statistics）。當這個字用來表示數字的收集時，用小寫s開頭，當成複數名詞。但是，當它意指收集和列表數字的活動時，則是單數名詞。Statistics（用大寫S）表示一項活動，因此，它是單數名詞。 雖然有許多運動迷和其他類型的人很享受收集數據和列表整理的樂趣，但小s的statistics真正的價值，還是在於提供數據給大S的Statistics。許多大S的Statistics所使用的數學方法，都涉及被稱為機率論（probability theory）的數學分支。機率論開始於16和17世紀，當時的人們為了增加獲勝的可能性，開始嘗試了解賭博遊戲的可能結果。不過，儘管機率論被視為數學的一門分支，統計本質上卻是使用數學方法的應用科學。 儘管執法機關收集小s統計的大量數據，但我們所關注的打擊犯罪，卻是使用大S統計當成工具。（從現在起，我們要去掉「大S」、「小s」的術語，依照統計學家的用法，使用「統計」這個詞，至於是哪種含意，就請讀者依上下文的脈絡自己做判斷） 雖然執法機關中有些統計的應用會使用到複雜的方法，但大學統計學課程第一個學期的基本技巧，多半就足以滿足破案的需求。